M-EF-ganzrationale_Funktionen

Last updated Sep 1, 2022

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Die ganzrationalen Funktionen sind die Art von Funktionen, mit der man sich in der EF am meisten beschäftigt.

Die ganzrationalen Funktion sind von der Form $$ f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots a_1 x^1 + a_0 x^0,\quad \text{mit } x, a_i\in \mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$$ Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten gegeben (hier: $n$). Wir sprechen dann von einer ganzrationalen Funktion $n$-ten Grades (wenn $a_n\neq 0$ gilt). $a_0$ heisst Absolutglied.

Somit gehören auch die bereits bekannten linearen Funktionen (ganzrationale Funktion 1. Grades) und die quadratischen Funktionen (2. Grades) zu den ganzrationalen Funktionen.

Ganzrationale Funktionen haben (unter anderem) folgende Eigenschaften:

• Für $x$ nahe $0$ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.
• Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung $y=a_k x^k + a_0$, wobei $k$ der niedrigste Exponent ist.

• Für $x$ nahe gegen “+” oder “-” unendlich ($\pm\infty$) wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion von dem Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt.
• Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung $y=a_n x^n$, wobei $n$ der Grad von $f(x)$ ist.

Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D_f$ ist genau dann

• achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle $x\in D_f$ gilt: $$ f(-x) = f(x) $$
• punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle $x\in D_f$ gilt: $$ f(-x) = -f(x) $$

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