Nullstellen ganzrationaler Funktionen
# Warm-up
# Einstieg
# Sicherung
Es gibt drei grundsätzliche Möglichkeiten um die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu bestimmen:
# Ablesen
Wenn die Funktion nur aus Linearfaktoren besteht, lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Beispiel:
$$ f(x) = -3(x-2)^2\cdot(x+1)\cdot(x-5)^3 $$
Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist, kann die obige Funktion $f(x)$ nur dann 0 sein, wenn $(x-2)^2=0$, oder $(x+1)=0$, oder $(x-5)^3=0$ gilt.
Somit sind die Nullstellen $x_1=2 \land x_2=-1 \land x_3=5$.
# Ausklammern
Wenn alle Summanden des Funktionsterms die Variable beinhalten, lässt diese sich ausklammern und anschließend wie beim Ablesen fortfahren.
Beispiel: $$ f(x)=x^3-2x^2+3x $$ Hier lässt sich ein $x$ ausklammern $$ \Leftrightarrow f(x)=x\cdot(x^2-2x+3) $$ und anschließend ist der Funktionsterm wieder ein Produkt. (Zu lösen wie bei Ablesen)
# Substitution
Beim Betrachten der folgenden Gleichung fällt auf, dass durchaus Ähnlichkeit zur quadratischen Gleichung besteht, die sich mit der pq-Formel lösen lässt:
